Valérie Girardin

 

         

  
  Mes travaux portent principalement sur 

 l'estimation et l'utilisation  de l'entropie en théorie statistique des processus stochastiques, ainsi que sur la représentation spectrale de ces processus, indépendants, ARMA, markoviens, et semi- markoviens, et dans des applications en particulier en écologie.

Le concept d'entropie, sous ses différentes formes (entropie, entropie relative, entropie conditionnelle, taux d'entropie, etc.) et ses différents noms (entropie, information, distance, divergence, mesure de distortion, etc.), s'applique à des lois de probabilités, à des variables ou à des processus stochastiques, de toute dimension, à temps discret ou continu. 
Il est utilisé dans un cadre extrêmement vaste, théorie de la communication, théorie du signal, image, recherche opérationnelle, mécanique statistique, mais aussi  biologie, psychologie, linguistique, etc.
Choisir la maximisation d'entropie pour trouver une fonction sous contraintes privilégie la solution qui peut se réaliser du plus grand nombre de manières possibles. Elle prend tout son sens en considérant la minimisation d'entropie relative pour laquelle la solution privilégiée est la plus proche d'une fonction connue qui ne vérifie pas les contraintes, par exemple une estimation préalable. 

Tests et théorie de l'information
Avec Philippe Regnault, nous avons montré que  la divergence de Kullback-Leibler est minimisée pour des lois à support fini sous contraintes d'entropie, de façon  étroitement liée à l'étude des familles de lois dites escortes d'une probabilité donnée. Ceci permet d'une part en géométrie de l'information de déterminer la divergence entre deux sphères de niveaux d'entropie. D'autre part, un principe de grandes déviations pour la suite d'estimateurs plug-in empiriques de l'entropie de Shannon en découle. Ces deux résultats combinés sont ensuite utilisés pour la construction de tests de niveau d'entropie.

Avec Justine Lequesne et Anne Ricordeau, nous avons développé   une nouvelle paramétrisation du modèle de minimisation d'information dans un tableau de contingence, introduite  par Jacques Zighera en 1985. Elle donne une décomposition de l'information en informations marginales similaire à l'ANOVA pour la régression linéaire. A travers des tests simultanés, elle permet  à la fois  de déterminer un modèle log-linéaire convenable et  d'évaluer les effets marginaux de la table.

Avec Justine Lequesne, nous avons aussi construit des statistiques basées sur l'égalité de Phytagore entre l'entropie de Shannon et la divergence de Kullback-Leibler pour des tests d'adéquation ("goodness of fit") à des lois a densité. Ils s'appliquent à des lois pour lesquelles les tests classiques ne sont pas pertinents. 

Processus markoviens et semi-markoviens 
Les processus semi-markoviens constituent une généralisation naturelle des processus de sauts markoviens : l'évolution future d'un processus de sauts markovien connaissant le passé dépend seulement de l'état occupé à l'instant présent ;  celle d'un processus semi-markovien dépend aussi du temps passé depuis la dernière transition.
Le théorème ergodique de la théorie de l'information dit que l'entropie à temps fini d'un processus divisée par le temps converge vers une limite appelée taux d'entropie du processus.  J'ai présenté une synthèse de ses différentes généralisations, depuis la version originale de Shannon-McMillan-Breiman, jusqu'à ses développements les plus récents. Avec Nikolaos Limnios, nous l'avons étendu aux processus semi-markoviens ergodiques, à espace d'état dénombrable pour le temps continu et pour le temps discret, et à espace d'état général, induisant une expression explicite du taux d'entropie de ces processus.  Un théorème de la limite centrale fonctionnel (soit des principes d'invariance fort et faible) pour l'entropie est également établi.
J'ai construit un critère de choix du processus randomisé d'un processus de sauts markovien par maximum d'entropie. J'ai étudié différents problèmes de maximisation d'entropie sous contraintes de type moments pour des processus de sauts markoviens et pour des processus semi-markoviens pour le temps continu, avec des applications en fiabilité, et pour le temps discret, donnant ainsi un aperçu des directions possibles d'utilisation de l'entropie dans l'étude de ces processus. J'ai aussi considéré l'utilisation de méthodes de maximum de taux d'entropie pour des files d'attente markoviennes.
Avec Gabriela Ciuperca et Loïck Lhote, nous avons construit différents estimateurs du taux d'entropie de chaînes de Markov  pour un espace d'état fini, à partir de l'observation d'une trajectoire de longue durée ou de plusieurs trajectoires de durée fixe.  Les cas paramétriques et non paramétriques sont envisagés, avec établissement des propriétés asymptotiques.  L'extension à un espace d'état dénombrable et à des entropies généralisées du type Rényi ou Tsallis est faite par des techniques de théorie des opérateurs, en lien avec les systèmes dynamiques.  Enfin, des changements d'échelle permettent la définition de taux d'entropies généralisées lorsque les conditions d'extensibilité usuelles de l'entropie ne sont pas réalisées.

Représentation spectrale
Il est bien connu que tout processus stochastique faiblement stationnaire, c'est-à-dire dont la fonction de covariance est invariante pour la structure de groupe additif de l'ensemble des indices, admet une représentation spectrale par rapport au système trigonométrique.  Sa fonction de covariance, réduite à une fonction d'une seule variable, est la transformée de Fourier de sa mesure spectrale.
La représentation spectrale liée à cette réduction de dimension offre de nombreux avantages et est souvent indispensable dans l'étude statistique des processus.  Elle simplifie l'étude de leurs propriétés de second ordre et permet d'utiliser les nombreux outils qui lui sont liés, comme l'ergodicité, la détermination d'un processus à partir de contraintes sur sa fonction de covariance, par exemple à travers l'estimation spectrale, etc..
Une extension consiste à considérer la stationnarité par rapport à une structure plus générale que celle de groupe additif de l'ensemble des indices. Avec Rachid Senoussi, nous avons défini une notion de semi-stationnarité liée aux structures de semi-groupes avec involution et semi-groupes réguliers en utilisant des résultats d'analyse harmonique. Ceci permet d'unifier des résultats connus sur les processus à accroissements orthogonaux, M-stationnaires, symétriques, le mouvement brownien, les signaux sinusoïdaux, etc., et ouvre un nouveau champ d'investigation en théorie des processus pour la représentation spectrale. Une autre extension consiste à utiliser la représentation spectrale d'un processus stationnaire par dualité.  C'est le cas de la classe des processus réductibles à la stationnarité par une transformation de l'ensemble des indices du processus ou de celle des processus périodiquement corrélés duaux de processus multivariés stationnaires. J'ai établi les propriétés statistiques des premiers liées à leur représentation spectrale, et celles des seconds liées à la maximisation d'entropie.

Processus ARMA
Un processus auto-régressif à un temps donné dépend linéairement de son passé à temps fini, à un bruit blanc près. Un processus ARMA possède la même propriété, à une combinaison linéaire finie de bruits blancs près. Ce sont des cas particuliers de processus de Markov, mais les techniques mises en jeu pour leur étude leur sont propres. J'ai étudié et utilisé les processus ARMA sous de nombreuses formes : faiblement stationnaires ou périodiquement corrélés, à valeurs scalaires ou multivariées, indexés par un ensemble unidimensionnel ou multidimensionnel, à temps discret ou continu.
Diverses techniques utilisant une modélisation ARMA sont apparues dans les dernières années, notamment dans des applications en théorie du signal et en économie.  Cette modélisation comporte plusieurs étapes, dont la détermination de l'ordre, nombre minimal de paramètres nécessaires à la représentation du processus. Avec Glaysar Castro, nous avons développé une procédure récursive de détermination de l'ordre d'un processus ARMA en utilisant les coefficients de réflection généralisés de la matrice de covariance. Ils sont conservés lorsque la taille des matrices augmente, ce qui permet de ne calculer qu'un seul coefficient à chaque étape de la procédure.
Une autre étape essentielle est le calcul des paramètres du modèle.  J'ai développé différentes méthodes dans ce but, à partir de diverses contraintes sur la densité spectrale, par exemple covariances, réponses impulsionnelles ou coefficients cepstraux (coefficients de Fourier de la densité spectrale, de sa racine carrée ou de son logarithme).  La représentation du modèle est ainsi déterminée, et pas seulement sa densité spectrale, moins informative.
L'absence de mémoire d'un processus markovien se traduit pour les propriétés de second-ordre par la notion de processus faiblement markovien.  Avec Glaysar Castro, avons obtenu une caractérisation décisive de ces processus d'ordre un à temps discret vectoriels ou périodiquement corrélés en termes de modèles auto-régressifs d'ordre un.

Problèmes de moments

A l'origine, le problème des moments tronqués consiste en la détermination de mesures positives dont un nombre fini de moments algébriques est donné.  Il a été ensuite généralisé à d'autres moments, par exemple  trigonométriques.
Il est appliqué en probabilités notamment aux moments  de variables aléatoires ou aux covariances d'un processus faiblement stationnaire. Le problème de l'existence de solutions est préliminaire. 
Dans le cas unidimensionnel, la définie-positivité de la suite est nécessaire et suffisante, un résultat classique dans le cas scalaire dont jai donné une preuve constructive dans le cas multivarié. 
L'étude de l'ensemble des solutions pour une suite donnée en découle. J'ai déterminé la forme de la fonction donnant le maximum d'une fonctionnelle d'entropie générale sous contraintes de moments généralisés par une méthode hilbertienne.
Elle s'applique aux cas classiques des moments trigonométriques ou algébriques, mais aussi aux systèmes de fonctions les plus généraux, comme par exemple ceux impliqués dans la représentation spectrale des processus semi-stationnaires ou réductibles, et également aux problèmes de réalisation de produit scalaire, et peut être étendue à des contraintes additionnelles, au cas multidimensionnel multivarié, à l'entropie relative pour des contraintes de covariances ou pour des contraintes plus générales. Les modèles ARMA jouent un rôle essentiel dans la maximisation d'entropie sous contraintes de moments généralisés sur la densité spectrale.
J'ai construit des solutions de type fraction rationnelle ou exponentielle de polynômes généralisés par résolution de systèmes linéaires ou par recherche de point fixe d'une fonctionnelle.  Sous contraintes de covariances pour des processus stationnaires, cela amène la construction d'un processus auto-régressif. J'ai développé une méthode de construction de ce processus dans le cas scalaire périodiquement corrélé et par dualité dans le cas stationnaire multivarié.
 Pour des contraintes additionnelles, ou pour l'entropie relative à certains processus, l'extremum d'entropie est obtenu pour un processus ARMA. Ces contraintes sont par exemple des réponses impulsionnelles ou des coefficients cepstraux. 
La représentation paramétrique du modèle ARMA est déterminée par différentes méthodes algébriques ou itératives. J'ai montré le parallèle entre le rôle joué par les covariances dans la construction de modèles auto-régressifs et celui joué par les réponses impulsionnelles dans la construction de modèles ARMA.  
J'ai mis en évidence une dualité entre un problème de moments multidimensionnel et un problème de marginales (détermination de mesures discrètes définies sur un ensemble produit et dont les marginales sont fixées). J'ai déterminé les points extrémaux du convexe des solutions dans les deux cas.  Pour le problème de moments, les mesures extrémales à support fini engendrent toutes les solutions pour une topologie convenable. Ces résultats ont été les premiers dans un contexte général (support dénombrable pour les mesures à marginales fixées et support multidimensionnel pour les moments). 

Applications
Je collabore de façon continue depuis 2014 avec Nathalie Niquil, BOREA UNICAEN, sur l'analyse inverse de réseaux trophiques. 
 J'ai utilisé des outilss de théorie de l'information pour l'estimation de ruptures de suites aléatoires markoviennes avec application en actuariat avec Serge Pergamentchikov, Rouen, et Victor Konev, Tomsk, Russie.
Les tests d'adéquation liés à l'entropie développés dans la thèse de Justine Lequesne sont appliqués à des données de replication d'ADN dans une collaboration avec Bénédicte Duriez de l'institut Jacques Monot. 
La paramétrisation du modèle de minimisation d'information dans un tableau de contingence a donné lieu à plusieurs publications sur une étude critique des données brutes issues des évaluations PISA de l'OCDE.